Як розрахувати математичне очікування

Математичне очікування теорії ймовірностей - середнє значення випадкової величини, яке є розподілом її ймовірностей. Фактично розрахунок математичного очікування величини або події - це прогноз його настання в деякому ймовірнісному просторі.

Математичне очікування випадкової величини - одна з найважливіших її характеристик теорії ймовірності. Це поняття пов'язане з розподілом ймовірностей величини і є її середнім очікуваним значенням, обчислюваним за формулою:M = ∫xdF (x), де F (x) - функція розподілу випадкової величини, тобто функція, значення якої в точці х є її ймовірністю; x належить безлічі X значень випадкової величини

. Наведена формула носить назву інтеграла Лебега-Стилтьеса і ґрунтується на методі розбиття області значень інтегрованої функції на інтервали. Потім підраховується інтегральна сума

. Математичне очікування дискретної величини прямо випливає з інтеграла Лебега-Стільтьєса:М = Σx_i*p_i на інтервалі i від 1 до ^, де x_i - значення дискретної величини, p_i - елементи безлічі її ймовірностей в цих точках. При цьому Σp_i = 1 при I від 1 до

^ .Математичне очікування цілочисельної величини може бути виведено через виконуючу функцію послідовності. Очевидно, що цілочисельна величина є приватним випадком дискретної і має такий розподіл ймовірностей:Σp_i = 1 від I до 0, де p_i = P (x_i) - розподіл ймовірностей

. Для того, щоб розрахувати математичне очікування, необхідно продифференціювати P при значенні х, рівному 1:P "(1) = ^ k * p _ k для k від

1 до ^ .Виробляюча функція - це ступеневий ряд, схожість якого визначає математичне очікування. При розбіжності цього ряду математичне очікування дорівнює нескінченності.

Для спрощення розрахунку математичного очікування прийняті деякі його найпростіші властивості:- математичне очікування числа є саме це число (константа); M (a * x + b * y) = a * M (x) + b * M (y); - якщо x ^ y і M (y) - кінцева величина, то математичне очікування х також буде кінцевою величиною, причому M (x) ^ M (y); - для x = y M (x) = M (y); - математичне очікування твору двох величин дорівнює твору їх математичних очікувань: M(x*y) = M(x)*M(y).