Як вирішувати системи нелінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь вирішуються за допомогою матриць. Для систем нелінійних рівнянь не існує загального алгоритму вирішення. Однак застосування деяких методів може допомогти.

Спробуйте привести одне з рівнянь до хорошого вигляду, тобто, такого, в якому одне з невідомих легко виражається через інше. Наприклад, рівняння (x. -2y. )/xy = 2 при першому розгляді здається складним. Однак можна помітити, що при x  0, y  0 воно еквівалентне x  -2y  = 2xy, що зрештою призводиться до квадратного рівняння x  -2xy-2y  = 0. Ліву частину легко розкласти на множники: x²-2xy-2y²=(x-3y)(x+y). Тепер можна виразити одну змінну через іншу, адже рівняння (x-3y) (x + y) = 0 дає сукупність рішень x-3y = 0, x + y = 0. Залишилося підставити результат в інше рівняння системи і вирішити його.

Іноді у зовні страшних системах нелінійних рівнянь замасковані формули скороченого множення: квадрат суми, квадрат різності, куб суми, куб різності, різність квадратів та інші. Треба вміти їх бачити. Пробуйте складати і віднімати рівняння системи один з одним. Пам "ятайте також про те, що множення обох частин рівняння на одне і те ж число зберігає вірність рівності. Це теж в деяких випадках може допомогти знайти рішення.

Спробуйте розкласти якусь з рівнянь на лінійні множники. Спробуйте вирішити його як квадратне рівняння щодо однієї з невідомих. Раптом дискримінант виявиться повним квадратом? Це значно спростить завдання, адже тоді при пошуку коренів квадратного рівняння ви зможете позбутися знака квадратного кореня.

Іноді спрацьовує метод заміни змінних. Але тут, звичайно, підібрати відповідну заміну буває дуже складно. Особливо вдала заміна може зробити систему тривіальною. Тільки в кінці не забудьте знайти і записати відповідь для початкових величин, оскільки в процесі рішення часто забувається, що ж потрібно знайти.